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<!DOCTYPE html>

<title>Unendliche Menge</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Unendliche Menge</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p><b>Unendliche Menge </b> ist ein Begriff aus der <a href="Mengenlehre" title="Mengenlehre">Mengenlehre</a>, einem Teilgebiet der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a>. Schon die Verwendung der negierenden Vorsilbe <i>un</i> legt folgende Definition nahe:

</p>

<ul><li>Eine Menge heißt unendlich genau dann, wenn sie nicht endlich ist.</li></ul>

<p>Mit Hilfe der Definition der <a href="Endliche_Menge" title="Endliche Menge">endlichen Menge</a> lässt sich das wie folgt umformulieren:

</p>

<ul><li>Eine Menge ist unendlich genau dann, wenn es keine natürliche Zahl <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span> gibt, so dass die Menge gleichmächtig zu <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{0,1,\ldots ,n-1\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{0,1,\ldots ,n-1\}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c9d880514ad2c67d30e2bacec2a815839c59beb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.26ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{0,1,\ldots ,n-1\}}" loading="lazy"></span> ist (für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26819344e55f5e671c76c07c18eb4291fcec85ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=0}" loading="lazy"></span> ist das die <a href="Leere_Menge" title="Leere Menge">leere Menge</a>);</li></ul>

<p>mit dem <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahlen#Von_Neumanns_Modell_der_natürlichen_Zahlen" class="mw-redirect" title="Natürliche Zahlen">von-Neumannschen Modell</a> der natürlichen Zahlen noch kompakter als:

</p>

<ul><li>Eine Menge ist unendlich genau dann, wenn sie nicht gleichmächtig zu einer natürlichen Zahl (gemäß ihrer von-Neumannschen Darstellung) ist.</li></ul>

<p>Beispiele für unendliche Mengen sind die Menge der <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahlen" class="mw-redirect" title="Natürliche Zahlen">natürlichen Zahlen</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/63e3652529d7af2451345ae27b4824d6118e1258.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.61ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}}" loading="lazy"></span> oder die Menge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"></span> der <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen Zahlen</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Dedekind-Unendlichkeit">Dedekind-Unendlichkeit</h2></div>

<p><a href="Richard_Dedekind" title="Richard Dedekind">Richard Dedekind</a> definierte in seiner Schrift <i><a href="Was_sind_und_was_sollen_die_Zahlen%3F" title="Was sind und was sollen die Zahlen?">Was sind und was sollen die Zahlen?</a></i><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<ul><li>Eine Menge gilt als unendlich genau dann, falls sie zu einer echten <a href="Teilmenge" title="Teilmenge">Teilmenge</a> gleichmächtig ist.</li></ul>

<p>Genauer spricht man in diesem Fall von Dedekind-Unendlichkeit. Der Vorteil dieser Definition ist, dass sie keinen Bezug auf die <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürlichen Zahlen</a> nimmt. Die Äquivalenz zur eingangs definierten Unendlichkeit erfordert allerdings das <a href="Auswahlaxiom" title="Auswahlaxiom">Auswahlaxiom</a>. Dass Dedekind-unendliche Mengen unendlich sind, ist klar, da eine endliche Menge zu einer echten Teilmenge nicht gleichmächtig sein kann.

</p><p>Ist umgekehrt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> eine unendliche Menge, so wähle man mit Hilfe des Auswahlaxioms rekursiv Elemente

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0}\in A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/903b83dce8938d50c34385e5dc51fb39f3429b62.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.868ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{0}\in A}" loading="lazy"></span></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1}\in A\setminus \{a_{0}\}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3688b02e829752c3656a8307045dbd8db46ee013.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.671ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a_{1}\in A\setminus \{a_{0}\}}" loading="lazy"></span></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ldots }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.723ex; height:0.843ex;" alt="{\displaystyle \ldots }" loading="lazy"></span></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}\in A\setminus \{a_{0},\ldots ,a_{n-1}\}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b815fede22cfe3ba96f180acd1cf9ab382d310ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.563ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a_{n}\in A\setminus \{a_{0},\ldots ,a_{n-1}\}}" loading="lazy"></span></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ldots }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.723ex; height:0.843ex;" alt="{\displaystyle \ldots }" loading="lazy"></span></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> unendlich ist, kann niemals <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=\{a_{0},\ldots ,a_{n-1}\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=\{a_{0},\ldots ,a_{n-1}\}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d6acd8bc43fb9e8e66aa989b46a0b17c1c90e7e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.178ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A=\{a_{0},\ldots ,a_{n-1}\}}" loading="lazy"></span> sein, weshalb die Wahl eines neuen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/790f9209748c2dca7ed7b81932c37c02af1dbc31.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.448ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{n}}" loading="lazy"></span> stets möglich ist.

Die Abbildung

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

</mtr>

<mtr>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\rightarrow A\setminus \{a_{0}\},\quad a\mapsto {\begin{cases}\\\\\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2eda9cb932fc73380bdb807a34bef29aa3f027cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:26.936ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\rightarrow A\setminus \{a_{0}\},\quad a\mapsto {\begin{cases}\\\\\end{cases}}}" loading="lazy"></span>

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n+1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e3ca63bae846c1f453ed862ef56a5747ca45f139.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.549ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{n+1}}" loading="lazy"></span></td>

<td>  , falls   <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=a_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=a_{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ae1f1b5bd691dca73f3c0e5b06627a65b5240cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.777ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a=a_{n}}" loading="lazy"></span>   für ein   <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span></td>

<td>  , sonst

</td></tr></tbody></table></dd></dl>

<p>ist <a href="Wohldefiniert" class="mw-redirect" title="Wohldefiniert">wohldefiniert</a>, da das <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span> mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=a_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=a_{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ae1f1b5bd691dca73f3c0e5b06627a65b5240cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.777ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a=a_{n}}" loading="lazy"></span> eindeutig ist.

Sie zeigt, dass <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> zur echten Teilmenge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\setminus \{a_{0}\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\setminus \{a_{0}\}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f2ad83dcbfada90443471aacfc74deaae340528.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.547ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\setminus \{a_{0}\}}" loading="lazy"></span> gleichmächtig und daher Dedekind-unendlich ist.

</p><p>Ohne eine zumindest schwache Version des Auswahlaxioms (i. d. R. das <a href="Abz%C3%A4hlbares_Auswahlaxiom" title="Abzählbares Auswahlaxiom">abzählbare Auswahlaxiom</a>) kann man nicht zeigen, dass unendliche Mengen auch Dedekind-unendlich sind.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Existenz_unendlicher_Mengen">Existenz unendlicher Mengen</h2></div>

<p>In der <a href="Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre" title="Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre">Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre</a>, das heißt in der üblichen, von den meisten Mathematikern akzeptierten Grundlage der Mathematik, ist die Existenz unendlicher Mengen durch ein Axiom, das sogenannte <a href="Unendlichkeitsaxiom" title="Unendlichkeitsaxiom">Unendlichkeitsaxiom</a>, gefordert. In der Tat kann man die Existenz unendlicher Mengen nicht aus den übrigen Axiomen erschließen. Dieses Unendlichkeitsaxiom wird von manchen Mathematikern, sogenannten <a href="Konstruktive_Mathematik" class="mw-redirect" title="Konstruktive Mathematik">Konstruktivisten</a>, kritisiert, da die Existenz unendlicher Mengen nicht aus logischen Axiomen beweisbar ist. Daher werden unendliche Mengen auch in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre verdächtigt, möglicherweise zu Widersprüchen zu führen, obwohl die russellsche Antinomie dort nicht möglich ist. In der Tat kann die <a href="Widerspruchsfreiheit" title="Widerspruchsfreiheit">Widerspruchsfreiheit</a> der Mengenlehre und damit der Mathematik nach dem auf <a href="Kurt_G%C3%B6del" title="Kurt Gödel">Kurt Gödel</a> zurückgehenden <a href="Unvollst%C3%A4ndigkeitssatz" class="mw-redirect" title="Unvollständigkeitssatz">Unvollständigkeitssatz</a> nicht bewiesen werden. Für eine weitergehende Diskussion siehe <i><a href="Potentielle_und_aktuale_Unendlichkeit" title="Potentielle und aktuale Unendlichkeit">Potentielle und aktuale Unendlichkeit</a></i>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Unterschiedliche_Mächtigkeiten_unendlicher_Mengen"><span id="Unterschiedliche_M.C3.A4chtigkeiten_unendlicher_Mengen"></span>Unterschiedliche Mächtigkeiten unendlicher Mengen</h2></div>

<p>Die <a href="M%C3%A4chtigkeit_(Mathematik)" title="Mächtigkeit (Mathematik)">Mächtigkeiten</a> endlicher Mengen sind die natürlichen Zahlen; schwieriger und interessanter ist die Idee, den Begriff der Mächtigkeit auch auf unendliche Mengen auszuweiten.

</p><p>Der <a href="Mengenlehre" title="Mengenlehre">mengentheoretische</a> Begriff des Unendlichen wird noch interessanter, da es verschiedene Mengen gibt, die unendlich viele Elemente besitzen, die aber nicht <a href="Bijektive_Funktion" title="Bijektive Funktion">bijektiv</a> aufeinander abgebildet werden können. Diese unterschiedlichen Mächtigkeiten werden mit dem Symbol <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \aleph }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \aleph }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/306c55e6bc96d94db729ff5821c8f45a34c72bce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.42ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \aleph }" loading="lazy"></span> (<a href="Aleph" title="Aleph">Aleph</a>, der erste Buchstabe des <a href="Hebr%C3%A4ische_Schrift" class="mw-redirect" title="Hebräische Schrift">hebräischen</a> Alphabets) und einem (anfangs ganzzahligen) Index bezeichnet, die Indizes durchlaufen die <a href="Ordinalzahlen" class="mw-redirect" title="Ordinalzahlen">Ordinalzahlen</a>.

</p><p>Die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }" loading="lazy"></span> (die kleinste Unendlichkeit) ist in dieser Schreibweise <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \aleph _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \aleph _{0}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/721cd7f8c15a2e72ad162bdfa5baea8eef98aab1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.475ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \aleph _{0}}" loading="lazy"></span>. Obwohl die natürlichen Zahlen eine echte <a href="Teilmenge" title="Teilmenge">Teilmenge</a> der <a href="Rationale_Zahl" title="Rationale Zahl">rationalen Zahlen</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }" loading="lazy"></span> sind, besitzen beide Mengen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }" loading="lazy"></span> dieselbe Mächtigkeit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \aleph _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \aleph _{0}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/721cd7f8c15a2e72ad162bdfa5baea8eef98aab1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.475ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \aleph _{0}}" loading="lazy"></span>. (→ <a href="Cantors_erstes_Diagonalargument" title="Cantors erstes Diagonalargument">Cantors erstes Diagonalargument</a>)

</p><p>Die <a href="Reelle_Zahlen" class="mw-redirect" title="Reelle Zahlen">reellen Zahlen</a> bilden eine unendliche Menge, die mächtiger als die Menge der natürlichen und rationalen Zahlen ist; sie ist <a href="%C3%9Cberabz%C3%A4hlbarkeit" class="mw-redirect" title="Überabzählbarkeit">überabzählbar</a>. Man spricht auch von der Kardinalität der überabzählbaren Mengen erster Stufe. (→ <a href="Cantors_zweites_Diagonalargument" title="Cantors zweites Diagonalargument">Cantors zweites Diagonalargument</a>)

</p><p>Die <a href="Kontinuumshypothese" title="Kontinuumshypothese">Kontinuumshypothese</a> ist die Behauptung, dass die Mächtigkeit der reellen Zahlen gleich <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \aleph _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \aleph _{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/78c211ce8badf4ffbf9417ecceb0ef7ab0a8caed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.475ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \aleph _{1}}" loading="lazy"></span> ist, also die nach <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \aleph _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \aleph _{0}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/721cd7f8c15a2e72ad162bdfa5baea8eef98aab1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.475ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \aleph _{0}}" loading="lazy"></span> nächstgrößere Mächtigkeit. Sie ist allein mit den üblichen <a href="Axiom" title="Axiom">Axiomen</a> der Mengenlehre (<a href="Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre" title="Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre">ZFC</a>) weder <a href="Beweisbarkeit" class="mw-redirect" title="Beweisbarkeit">beweisbar</a> noch <a href="Widerspruchsbeweis" class="mw-redirect" title="Widerspruchsbeweis">widerlegbar</a>.

</p><p>Zu jeder unendlichen Menge lassen sich weitere Unendlichkeiten mittels Bildung der <a href="Potenzmenge" title="Potenzmenge">Potenzmenge</a> (Menge aller Teilmengen) konstruieren. Der <a href="Satz_von_Cantor" title="Satz von Cantor">Satz von Cantor</a> sagt aus, dass die Mächtigkeit einer Potenzmenge größer als die Mächtigkeit der Ausgangsmenge ist.

Ob durch Potenzmengenbildung aus einer Menge mit Mächtigkeit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \aleph _{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \aleph _{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/008ec35e700beeb6f6ac979c7ed7bfec35f85725.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.639ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \aleph _{n}}" loading="lazy"></span> eine Menge der nächstgrößeren Mächtigkeit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \aleph _{n+1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \aleph _{n+1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71f4f2a5ed884b0769c34c34584e945e4adf5fa8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.739ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \aleph _{n+1}}" loading="lazy"></span> entsteht oder einige Größenordnungen übersprungen werden, ist ein klassisches Problem der Mengenlehre (die verallgemeinerte <a href="Kontinuumshypothese" title="Kontinuumshypothese">Kontinuumshypothese</a>). Dieser Vorgang kann (formal) immer weitergeführt werden, so dass es unendlich viele <a href="Unendlichkeit" title="Unendlichkeit">Unendlichkeiten</a> gibt.

</p><p>Es gibt in der Mengenlehre mehrere Zahlensysteme, die unendlich große Zahlen enthalten. Die bekanntesten sind <a href="Ordinalzahl" title="Ordinalzahl">Ordinalzahlen</a>, <a href="Kardinalzahl_(Mathematik)" title="Kardinalzahl (Mathematik)">Kardinalzahlen</a>, <a href="Hyperreelle_Zahl" title="Hyperreelle Zahl">hyperreelle Zahlen</a> und <a href="Surreale_Zahl" title="Surreale Zahl">surreale Zahlen</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Aleph-Funktion" title="Aleph-Funktion">Aleph-Funktion</a></li>

<li><a href="Endliche_Menge" title="Endliche Menge">Endliche Menge</a></li>

<li><a href="Hilberts_Hotel" title="Hilberts Hotel">Hilberts Hotel</a></li>

<li><a href="Tarski-Endlichkeit" title="Tarski-Endlichkeit">Tarski-Endlichkeit</a></li>

<li><a href="Unendlichkeit" title="Unendlichkeit">Unendlichkeit</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Harro_Heuser" title="Harro Heuser">Harro Heuser</a>: <i>Lehrbuch der Analysis. Teil 1</i>, Vieweg+Teubner, ISBN 978-3-8348-0777-9, Seiten 137 ff.</li>

<li>Oliver Deiser: <i>Einführung in die Mengenlehre</i>, Springer Berlin 2004, ISBN 978-3-540-20401-5, Seiten 91–108.</li>

<li><a href="David_Foster_Wallace" title="David Foster Wallace">David Foster Wallace</a>: <a href="Georg_Cantor%3A_Der_Jahrhundertmathematiker_und_die_Entdeckung_des_Unendlichen" title="Georg Cantor: Der Jahrhundertmathematiker und die Entdeckung des Unendlichen">Georg Cantor: Der Jahrhundertmathematiker und die Entdeckung des Unendlichen</a>, Piper Verlag 2007, gebundene Ausgabe, ISBN 3-492-04826-9</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Richard Dedekind: <i>Was sind und was sollen die Zahlen?. Stetigkeit und Irrationale Zahlen</i>, Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden, 1965, S. 13 ff.</span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>